考虑这个问题时，我们设想一个矩阵 matrix，其中的元素是一些整数。我们需要在这个矩阵中找到从起点到终点的路径，使路径上所有元素的和能被一个给定的整数 K 整除。使用动态规划的方法，可以有效地解决这个问题。

动态规划状态定义

首先定义一个动态规划的状态 dp[i][j][r]，表示从起点 (0, 0) 到达位置 (i, j)，其路径和对 K 取模余数为 r 的路径数量。通过这样的状态定义，可以捕获我们所需要的路径和能被 K 整除的情况。

状态转移方程

考虑如何从上一状态进行转移到当前状态 (i, j, r)：

1. 我们可以从左边一格到达当前位置 (i, j)，即从 (i, j-1) 到 (i, j)。
2. 或者从上面一格到达当前位置 (i, j)，即从 (i-1, j) 到 (i, j)。

因此状态转移方程为：

dp[i][j][r] = dp[i-1][j][(r - matrix[i][j] % K + K) % K] + dp[i][j-1][(r - matrix[i][j] % K + K) % K]  

这个方程解释如下：
- (r - matrix[i][j] % K + K) % K 是为了解决负数取模的问题。

初始条件

• dp[0][0][matrix[0][0] % K] = 1，因为在起点的时候，路径总数刚好为1条，即自己到自己。

边界条件

• 如果尝试访问 i-1 或者 j-1 超出矩阵范围，则对此路径贡献为0。

目标

最终，我们希望计算的结果是矩阵的终点 (n-1, m-1)，其余数为0的路径数量，即 dp[n-1][m-1][0]。

复杂度分析

假设矩阵维度为 nxm，需要额外的 K 个存储空间来记录路径和的余数。时间复杂度和空间复杂度均为 O(n * m * K)，这在合理范围内有效。

通过这种方法，我们能够有效地计算在矩阵中符合条件的路径数量。动态规划的思想在于通过递推地计算出每个子问题到最终问题的答案，在节点上做出每一步优化，与分治法不同，它保存了中间状态避免重复计算，从而取得时间复杂度与空间复杂度的平衡。