判断一个数是否为素数是编程中的一个常见问题。下面是三种不同的方法来判断一个数是否为素数，每种方法都附有详细注释。

方法一：朴素算法

def is_prime_naive(n):  
    """判断一个数是否为素数的朴素算法"""  
    if n <= 1:  
        return False  
    for i in range(2, n):  
        # 如果 n 能够被 i 整除，说明 n 不是素数  
        if n % i == 0:  
            return False  
    return True  
# 使用示例  
print(is_prime_naive(11))  # 输出: True  
print(is_prime_naive(12))  # 输出: False  

注释：对于一个整数 n，遍历从 2 到 n-1 的所有整数，检查是否能整除 n。如果能，则 n 不是素数。该方法对大数效率较低。

方法二：改进的算法

def is_prime_improved(n):  
    """判断一个数是否为素数的改进算法"""  
    if n <= 1:  
        return False  
    if n <= 3:  
        return True  
    if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:  
        return False  
    i = 5  
    while i * i <= n:  
        # 检查是否能被 i 或 i+2 整除  
        if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0:  
            return False  
        i += 6  
    return True  
# 使用示例  
print(is_prime_improved(11))  # 输出: True  
print(is_prime_improved(12))  # 输出: False  

注释：该算法基于这样一个事实：所有大于 3 的素数都可以表示为 6k ± 1 的形式。算法在检查是否被 2 或 3 整除后，迭代检查 6k ± 1 的所有可能性，直到平方根 n。

方法三：埃拉托斯特尼筛法（用于寻找一定范围内的所有素数）

def sieve_of_eratosthenes(limit):  
    """埃拉托斯特尼筛法，用于在 2 到 limit 范围内寻找所有素数"""  
    is_prime = [True] * (limit + 1)  
    p = 2  
    while (p * p <= limit):  
        # 如果当前数是素数  
        if is_prime[p]:  
            # 更新所有 p 的倍数为非素数  
            for i in range(p * p, limit + 1, p):  
                is_prime[i] = False  
        p += 1  
    # 返回所有素数  
    prime_numbers = [p for p in range(2, limit + 1) if is_prime[p]]  
    return prime_numbers  
# 使用示例  
print(sieve_of_eratosthenes(30))  # 输出: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]  

注释：埃拉托斯特尼筛法用于查找某一范围内的所有素数。首先假定所有数字都是素数，然后反复过滤掉素数的倍数（非素数），最终留下的都是素数。

这三种方法涵盖了从简单到复杂，从单个数到多个数的场景，适用于不同的应用需求。