R平方值（R-Squared），又称为决定系数（coefficient of determination），是统计学中用于评估回归模型拟合优度的重要指标。它描述了自变量与因变量之间的解释程度，即模型所能解释的因变量波动的比例。

定义：

数学上，R平方值的定义为：

[ R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} ]

其中：
- ( SS_{\text{res}} ) 是残差平方和（Sum of Squares of Residuals），反映模型未能解释部分的波动。
- ( SS_{\text{tot}} ) 是总平方和（Total Sum of Squares），反映因变量总的波动。
- ( SS_{\text{reg}} = SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}} ) 是回归平方和（Sum of Squares due to Regression），表示模型解释的波动。

R平方值的范围从0到1，值越接近1，表示模型对数据的解释能力越强；值接近0表示模型对因变量的解释能力较弱。

应用：

1. 模型评估：R平方值通常用于评估线性回归模型的性能。高R平方值通常意味着模型能较好地解释因变量的变异。

2. 模型比较：当比较多个回归模型时，R平方值可以帮助选择解释能力较强的模型。需注意，当增加自变量时，R平方值可能会增加，即使新增自变量可能并不重要。

3. 解释能力：R平方值提供了一种量化模型解释能力的方式。如果R平方值为0.8，这意味着80%的因变量波动可以通过自变量解释。

4. 局限性：R平方值的一些局限性包括：

   • 它不适用于非线性模型，因为其假设关系是线性的。
   • 它不反映模型是否一定合适，可能存在过拟合（特别是当自变量数量较多时）。
   • 增加无关自变量也可能导致R平方值增加，因此通常结合调整后的R平方值来进行更可靠的评估。

调整后的R平方值（Adjusted R-Squared）：

调整后的R平方值考虑了模型复杂度（自变量个数），其计算公式为：

[ \text{Adjusted } R^2 = 1 - \left(1-R^2\right) \frac{n-1}{n-k-1} ]

其中 ( n ) 是观测值的数量，( k ) 是自变量的数量。相比于R平方，调整后的R平方提供了对模型效能更为保守的估计，避免因增加无意义变量而导致的R平方值膨胀。

在实际应用中，选择和理解R平方值时，应该综合考虑其优点、局限性以及数据和问题的具体情境。