质数筛选是计算机科学中一个常见的问题，许多编程竞赛和奥林匹克信息学竞赛都会涉及到。质数筛选主要有两种经典算法：埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）和欧拉筛法。这两种算法都可以有效地找出一定范围内的所有质数，但它们在实现和效率上有一些不同。

埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）

算法思想：

埃氏筛法通过标记合数来筛选质数。其主要思想是从2开始，将每一个质数的倍数标记为合数。算法结束时，没有被标记的数即为质数。

步骤：

1. 创建一个布尔数组isPrime，其大小为n+1，并初始化为true，表示假设所有数都是质数。
2. 从小到大逐个检查每个数：
   • 当检查到的数为质数时（isPrime[i]为true），标记其所有倍数为合数（即设置isPrime[j] = false，其中j从i*i开始，步长为i）。
3. 最后，所有isPrime中仍为true的索引即对应的质数。

复杂度：

• 时间复杂度：O(n log log n)
• 空间复杂度：O(n)

优缺点：

• 优点：实现简单，理解容易。
• 缺点：对每个质数的倍数都会进行标记，存在一些冗余操作，特别是在大范围筛选时。

欧拉筛法（Euler's Sieve）

算法思想：

欧拉筛是埃氏筛的优化版本，其通过每个合数只被其最小质因子筛掉一次，避免了重复标记，从而提高了性能。

步骤：

1. 和埃氏筛一样，首先创建一个布尔数组isPrime，用于标记是否为质数。
2. 使用一个列表primes保存找到的所有质数。
3. 从2开始遍历，对于每个数i：
   • 如果isPrime[i]为true，则i是一个质数，将i加入primes。
   • 对于primes中的每个质数p：
     • 当p*i 超过n时停止。
     • 标记p*i为合数。
     • 如果i是p的倍数，则停止内部循环。

复杂度：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

优缺点：

• 优点：效率更高，特别是在大范围的质数筛选中表现优异。
• 缺点：实现稍微复杂，需要同时维护两个数组（或者列表）。

总结

• 在需要筛选小范围的质数时，埃氏筛法的简单性和易实现性使其成为不错的选择。
• 对于大范围或更高效率的需求，欧拉筛法是更佳的选择，尽管实现稍复杂，但能大幅减少不必要的计算。

在实际应用中，选择哪种算法应结合具体数据范围和性能要求。此外，实现过程中还应考虑边界条件和优化（如跳过偶数、使用位运算等）以进一步提高性能。