时频分析方法：连续小波变换（CWT）
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种时频分析方法，广泛用于处理信号的时间变化和频率内容。它通过将信号与缩放和平移的小波进行卷积，获取信号在不同频率下的局部特征。
基本概念
小波函数：小波是一种波动形式的函数，具有良好的局部化特性，其平均值为零。常用的小波函数包括墨西哥帽小波、Morlet小波等。
缩放和平移：CWT通过改变小波的尺度（缩放）和位置（平移），获得信号在不同时间和频率的表现。这种方法提供了一个二维的时频图。
频率分辨率：由于小波变换的多尺度特性，低频部分具有良好的频率分辨率，而高频部分具有良好的时间分辨率。
数学表述
CWT通过公式定义为：
[
CWT_x(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int x(t) \psi^\left(\frac{t-b}{a}\right) dt
]
其中：
- ( x(t) ) 是待分析的信号。
- ( \psi(t) ) 是母小波函数。
- ( a ) 是尺度参数（逆相关于频率）。
- ( b ) 是平移参数。
- ( \psi^ ) 表示小波函数的复共轭。
应用领域
- 地震信号分析：用于检测地震波的时间特性。
- 生物医学信号处理：分析脑电图（EEG）、心电图（ECG）等。
- 机械故障诊断：发现振动信号中的异常模式。
- 音频信号处理：用于音频信号的去噪和特征提取。
优势与挑战
优势：
- 多尺度分析：CWT适合处理非平稳信号和瞬态过程。
- 时频局部化：能够在时域和频域中准确定位信息。
挑战：
- 计算复杂度高：CWT的计算比离散傅里叶变换（DFT）更复杂，占用更多资源。
- 选择小波：不同的小波函数对信号特征的敏感性各异，选择合适的小波至关重要。
综上所述，连续小波变换在信号和系统分析中提供了一种有效的工具，可帮助研究人员捕捉和解释复杂信号中的动态变化。