广义线性模型（GLM）是一种扩展线性回归的统计模型，它允许响应变量服从非正态分布，并通过不同的函数链接响应变量和线性预测器。GLM的灵活性在于它可以处理多种类型的数据和分布，如二项分布、泊松分布等。

GLM的基本概念：

1. 线性预测器：GLM假设响应变量 ( Y ) 的预测是通过一组预测变量 ( X ) 的线性组合来进行的，即：
   [
   \eta = X\beta
   ]
   其中， ( \eta ) 是线性预测器，( X ) 是输入特征矩阵，( \beta ) 是系数向量。

2. 链接函数：为了处理非正态响应变量，将线性预测器 ( \eta ) 转换为期望值 ( \mu ) 的函数称为链接函数 ( g(\cdot) )，即：
   [
   g(\mu) = \eta
   ]
   常见的链接函数有logit、log、identity等。

3. 误差分布：GLM允许响应变量 ( Y ) 服从指数分布族中的分布，如正态分布、二项分布、泊松分布。

Python实现实例：

这里以一个简单的二项逻辑回归（GLM的一种）为例，展示如何用Python实现。

我们将使用 statsmodels 库，这是一个强大的统计建模包。

import numpy as np  
import pandas as pd  
import statsmodels.api as sm  
# 创建一个示例数据集  
np.random.seed(0)  
n_samples = 100  
X = np.random.rand(n_samples)  
y = (X > 0.5).astype(int)  # 人为的二项分布响应变量  
# 添加截距  
X = sm.add_constant(X)  
# 使用GLM进行逻辑回归  
model = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Binomial())  
result = model.fit()  
# 打印结果摘要  
print(result.summary())  
# 预测  
predictions = result.predict(X)  
print("Predictions:", predictions[:5])  

代码解析：

• 数据创建：生成随机数，确定特征和响应变量，响应变量人为地设定为简单的二项分布。
• 截距项：sm.add_constant(X)用于添加一个常量列，以包含截距。
• 模型拟合：使用 statsmodels 中的 GLM 类进行模型拟合，指定 family=sm.families.Binomial() 表示这是一个逻辑回归模型。
• 结果输出：result.summary() 返回详细的统计分析，包括系数、标准误、z值等。
• 预测：预测给定数据集的响应变量。

通过这个例子，可以体会到广义线性模型灵活地处理不同类型数据的能力，以及用Python进行统计建模的便捷性。