使用蒙特卡洛法计算圆周率是一项经典的概率实验。蒙特卡洛方法是一种利用随机采样来获得数值结果的计算技术。在这种情况下，我们可以通过模拟随机点落在一个正方形和其内切圆中的比例来估计圆周率 π。以下是实现这一实验的步骤：

实验原理

1. 考虑一个单位正方形（边长为1）的内切圆（半径为0.5）。
2. 随机生成大量的点（x, y），其中 x 和 y 的取值范围均为 [0, 1]。
3. 统计落在圆内的点数与总点数的比例，用于近似计算 π。

步骤

1. 初始化参数

   • 设定随机点的总数量 N。
   • 初始化两个计数器：circle_points（模拟命中圆内的点数）和 total_points（模拟生成的总点数）。

2. 随机点生成和检测

   • 使用循环生成随机点 (x, y)，其中 x 和 y 是 [0, 1] 范围内的随机小数。
   • 检查这些点是否在圆内，即判断条件 x² + y² ≤ 0.5² 是否成立。
   • 如果成立，增加 circle_points 的计数。
   • 无论点是否在圆内，增加 total_points 的计数。

3. 计算 π 的近似值

   • 根据几何概率原理，单位正方形的面积为1，圆的面积为 π(0.5)² = π/4。
   • 因此，圆内点数与总点数的比值近似于圆的面积，即 π/4。
   • 计算公式为 π ≈ 4 * (circle_points / total_points)。

Python 实现

以下是使用 Python 编写的代码示例：

import random  
def monte_carlo_pi(num_samples):  
    circle_points = 0  
    for _ in range(num_samples):  
        x, y = random.random(), random.random()  
        if x**2 + y**2 <= 0.25:  # 用于半径为0.5的圆  
            circle_points += 1  
    pi_approx = 4 * (circle_points / num_samples)  
    return pi_approx  
# 设置随机点的数量  
num_samples = 1000000  
pi_estimate = monte_carlo_pi(num_samples)  
print(f"估计的圆周率值为：{pi_estimate}")  

注意事项

• 随着 num_samples 数量的增加，估算的圆周率值会更加精确。
• 由于这个方法使用随机数生成器，因此每次运行结果可能略有不同。
• 在实际应用中，蒙特卡洛方法可能不如其他算法（如数值积分法）计算 π 快速、准确，但其实现简单且易于并行化，是一种很好的教学演示和模拟技术。

通过这个实验，不仅能帮助理解几何概率的概念，同时也能加深对蒙特卡洛模拟方法的掌握。